6.20.4 Somme de Riemann : sum_riemann
sum_riemann a deux arguments : une expression Xpr
dépendant de deux variables et la liste des noms de ces deux variables.
sum_riemann(Xpr(n,k),[n,k]) renvoie un équivalent, au
voisinage de n=+∞, de ∑k=1n Xpr(n,k) ou de
∑k=0n−1 Xpr(n,k) ou de ∑k=1n−1 Xpr(n,k),
lorsque la somme considérée est une somme de Riemann associée à une
fonction continue sur [0,1] ou répond quand la recherche a été
infructueuse "ce n’est probablement pas une somme de Riemann" .
Exercice 1
Soit Sn=∑k=1n k2/n3.
Calculer limn → +∞ Sn.
On tape :
sum_riemann(k^2/n^3,[n,k])
On obtient :
1/3
car :
est la somme de riemann associée à :
Exercice 2
Soit Sn=∑k=1n k3/n4.
Calculer limn → +∞ Sn.
On tape :
sum_riemann(k^3/n^4,[n,k])
On obtient :
1/4
car :
est la somme de riemann associée à :
Exercice 3
Calculer
limn → +∞(1/n+1+1/n+2+...+1/n+n).
On tape :
sum_riemann(1/(n+k),[n,k])
On obtient :
log(2)
car :
est la somme de riemann associée à :
Exercice 4
Soit Sn=∑k=1n 32n3/16n4−k4.
Calculer limn → +∞ Sn.
On tape :
sum_riemann(32*n^3/(16*n^4-k^4),[n,k])
On obtient :
2*atan(1/2)+log(3)
car :
est la somme de riemann associée à :
qui vaut donc ln(3)−ln(2)+ln(2)−ln(1)+2 atan (1/2)=ln(3)+2 atan (1/2)
Exercice 5
Calculer
limn → +∞(n/n2+12+n/n2+22+...+n/n2+n2).
On tape :
sum_riemann(n/(n^2+k^2),[n,k])
On obtient :
pi/4
car :
est la somme de riemann associée à :
Exercice 6
Calculer
limn → +∞(1/√n2+12+1/√n2+22+...+1/√n2+n2).
On tape :
sum_riemann(1/sqrt(n^2+k^2),[n,k])
On obtient :
-ln(sqrt(2)-1)
car :
est la somme de riemann associée à :