6.22.2  Limite et intégrale

On ne donne ici que deux exemple :

• Déterminer la limite quand a tend vers l’infini de :

  ∫

  a 2

  1 x2

  dx

  On tape :
  limit(integrate(1/(x^2),x,2,a),a,+(infinity))
  On obtient (vérifier que a est formelle sinon faire purge(a)) :
  1/2
  En effet ∫₂^a 1/x² dx=1/2−1/a
  Donc ∫₂^a 1/x² dx tend vers 1/2 quand a tend vers l’infini.
• Déterminer la limite quand a tend vers l’infini de :

  ∫

  a 2

  (

  x x2−1

  +ln(

  x+1 x−1

  )) dx

  On tape :
  limit(integrate(x/(x^2-1)+log((x+1)/(x-1)),x,2,a),
  a,+(infinity))
  On obtient (vérifier que a est formelle sinon faire purge(a)):
  +(infinity)
  En effet :
  ∫₂^a x/x²−1 dx=1/2(ln(a²−1)−ln(3)) et
  ∫₂^a ln(x+1/x−1) dx=ln(a+1)+ln(a−1)+a*ln(a+1/a−1)−3ln(3) Donc quand a tend vers +∞ l’intégrale tend vers +∞.
• Déterminer la limite quand a tend vers 0 de :

  ∫

  3a a

  cos(x)/x dx

  limit(int(cos(x)/x,x,a,3a),a,0)
  On obtient (vérifier que a est formelle sinon faire purge(a)):
  ln(3)
  Pour trouver cette limite on encadre cos(x)/x car on ne connait pas la primitive de cos(x)/x.
  On sait que :
  1−2sin²x/2=cos(x)≤ 1 et
  sin²x/2≤ x²/4 donc,
  1−x²/2=cos(x)≤ 1 et
  1/x−x/2≤ cos(x)/x≤ 1/x
  Donc :
  ∫_a^3a(1/x−x/2) dx ≤ ∫_a^3acos(x)/x dx≤ ∫_a^3a1/x dx.
  ln(3)−9a²/4+a²/4 ≤ ∫_a^3acos(x)/x dx≤ ln(3).
  Donc ∫_a^3acos(x)/x dx tend vers ln(3) quand a tend vers 0.