resultant a comme arguments deux polynômes.
resultant renvoie le résultant des deux polynômes.
Le résultant est le déterminant de la matrice S de Sylvester.
Pour les deux polynômes A(x)=∑i=0i=n aixi et
B(x)=∑i=0i=mbixi, la matrice S de Sylvester est une matrice
carrée de dimensiom m+n dont les m premières lignes sont composées à
partir des coefficients de A(x) :
| ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ |
| ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ |
et les n lignes suivantes sont composées de la même façon à partir des coefficients de B(x) :
| ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ |
| ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ |
On tape :
^3-p*x+q,3*x^2-p,x)On obtient :
^3--27*q^2On cherche si il existe 2 polynômes U(x)=x+β (de degré 1) et
V(x)=x2+x+є (de degré 2) pour
que U(x)*(x3−p*x+q)+V(x)*(3*x2−p)=1
On doit donc résoudre un système linéaire de 5 équations à 5 inconnues
qui sont α,...δ,η (Attention ! є=1e−10).
On tape :
symb2poly((alpha*x+beta)*(x^3-p*x+q)+(gamma*x^2+delta*x+
eta)*(3*x^2-p),x)
On obtient :
poly1[alpha+3*gamma,beta+3*delta,-alpha*p-p*gamma+3*eta,
alpha*q-beta*p-p*delta,beta*q-p*eta]
La matrice A de ce système est donc :
| A= | ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ |
| ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ |
la matrice S de Sylvester est la transposée de A:
| S= | ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ |
| ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ |
On a det(A)=det(S)=-4*p^3+27*q^2
En fait on résout UP+VQ=C avec C quelconque tel que deg(C)<deg(P)+deg(Q) i.e. on cherche U et V tel que deg(U)<deg(Q) et deg(V)<deg(P)
(inegalites strictes) vérifiant UP+VQ=1. Lorsque le système est de Cramer,
il y a une solution unique et ca correspond en arithmétique à P et Q
premiers entre eux (et réciproquement).
Donc si det(A)=det(S) est non nul, U et V existent et sont uniques donc
les 2 polynômes x3−p*x+q et 3*x2−p sont premiers entre eux et
réciproquement si les 2
polynômes x3−p*x+q et 3*x2−p sont premiers entre eux U et V tel que deg(U)<deg(Q) et deg(V)<deg(P)
existent et sont uniques donc det(A)=det(S) est non nul.
Donc si ce déterminant est nul les 2
polynômes x3−p*x+q et 3*x2−p ne sont pas premiers entre eux.
Remarque
On a : discriminant(P)=resultant(P,P’)/lcoeff(P).
Un exemple d’utilisation du résultant
Soient 2 points fixes F1 et F2 et un point variable A sur le cercle de
centre F1 et de rayon 2a.
On veut trouver l’équation cartésienne du lieu des points M intersection
de F1A et de la médiatrice de F2A : on a MF1+MF2=MF1+MA=F1A=2a donc M
décrit une ellipse de foyers F1 et F2 et de grand axe 2a.
Choisisons comme repère orthonormé celui de centre F1 et d’axe Ox
porté par le vecteur F1F2. On a :
A= (2acos(θ);2asin(θ)) où θ est l’angle (Ox,OA).
On choisit comme paramètre t=tan(θ/2) pour que les coordonnées de
A soient une fonction rationnelle du paramètre t. On a donc :
A=(ax;ay)=(2a1−t2/1+t2;2a2t/1+t2)
On pose F1F2=2c et on note I le milieu de AF2. On a :
F2=(2c,0) et
I=(c+ax/2;ay/2)=(c+a1−t2/1+t2;a2t1−t2/1+t2)
IM est perpendiculaire à AF2 donc M=(x;y) vérifie l’équation
eq1=0 avec :
eq1:=(x−ix)*(ax−2*c)+(y−iy)*ay
M=(x;y) est sur F1A donc M vérifie l’équation eq2=0 avec :
eq2:=y/x−ay/ax
On a :
resultant(eq1,eq2,t) est un polynôme eq3 en x et y, eq3 est
indépendant de t et il existe des polynômes en t, U et V tels que :
U(t)*eq1+V(t)*eq2=eq3.
On tape :
ax:=2*a*(1-t^2)/(1+t^2);ay:=2*a*2*t/(1+t^2);
ix:=(ax+2*c)/2; iy:=(ay/2)
eq1:=(x-ix)*(ax-2*c)+(y-iy)*ay
eq2:=y/x-ay/ax
factor(resultant(eq1,eq2,t))
On obtient comme résultant :
-(64·(x^2+y^2)·(x^2·a^2-x^2·c^2+-2·x·a^2·c+2·x·c^3-a^4+
2·a^2·c^2+a^2· y^2-c^4))
Le facteur -64·(x^2+y^2) ne s’annule jamais donc
l’équation du lieu est :
| x2a2−x2c2+−2xa2c+2xc3−a4+2a2c2+a2y2−c4=0 |
En prenant l’origine du repère en O milieu de F1F2, on retrouve
l’équation cartésienne de l’ellipse. Pour faire ce changement d’origine,
on a F1M=F1O+OM, donc on
tape :
normal(subst(x^2·a^2-x^2·c^2+-2· x·a^2·c+2·x·c^3-a^4+
2·a^2·c^2+a^2·y^2-c^4,[x,y]=[c+X,Y]))
On obtient :
-c^2*X^2+c^2*a^2+X^2*a^2-a^4+a^2*Y^2
ou encore si on pose b2=a2−c2
normal(subst(-c^2*X^2+c^2*a^2+X^2*a^2-a^4+a^2*Y^2,
c^2=a^2-b^2))
On obtient :
-a^2*b^2+a^2*Y^2+b^2*X^2
c’est à dire après division par a2b2, M vérifie l’équation :
| + |
| =1 |
Un autre exemple d’utilisation du résultant
Soient 2 points fixes F1 et F2 et un point variable A sur le cercle de
centre F1 et de rayon 2a.
On veut trouver l’équation cartésienne de l’enveloppe de la médiatrice D
de F2A (on sait que la médiatrice de F2A est tangente à l’ellipse de
foyers F1 et F2 et de grand axe 2a).
Choisisons comme repère orthonormé celui de centre F1 et d’axe Ox
porté par le vecteur F1F2. On a :
A= (2acos(θ);2asin(θ)) où θ est l’angle (Ox,OA).
On choisit comme paramètre t=tan(θ/2) pour que les coordonnées de
A soient une fonction rationnelle du paramètre t. On a donc :
A=(ax;ay)=(2a1−t2/1+t2;2a2t/1+t2)
On pose F1F2=2c et on note I le milieu de AF2. On a :
F2=(2c,0) et
I=(c+ax/2;ay/2)=(c+a1−t2/1+t2;a2t1−t2/1+t2)
D est perpendiculaire à AF2 donc D a pour équation :
eq1=0 avec :
eq1:=(x−ix)*(ax−2*c)+(y−iy)*ay
L’enveloppe de D est donc le lieu de M intersection de D et de D′
d’équation eq2=0 avec eq2:=diff(eq1,t).
On tape :
ax:=2*a*(1-t^2)/(1+t^2);ay:=2*a*2*t/(1+t^2);
ix:=(ax+2*c)/2; iy:=(ay/2)
eq1:=normal((x-ix)*(ax-2*c)+(y-iy)*ay)
eq2:=normal(diff(eq1,t))
factor(resultant(eq1,eq2,t))
On obtient comme résultant :
(-(64· a^2))·(x^2+y^2)·(x^2·a^2-x^2·c^2+-2·x·a^2·c+2·x·c^3-
a^4+2·a^2·c^2+a^2·y^2-c^4)
Le facteur -64·(x^2+y^2) ne s’annule jamais donc l’équation du
lieu est :
x2a2−x2c2+−2xa2c+2xc3−a4+2a2c2+a2y2−c4=0
En prenant l’origine du repère en O milieu de F1F2, on retrouve comme
précédemment l’équation cartésienne de l’ellipse :
| + |
| =1 |