series permet de faire le développement limité d’une
expression au voisinage d’un point à un ordre donné.
series peut avoir de un à quatre paramètres si on veut une écriture
avec reste et de un à cinq paramètres si on ne veut pas mettre le reste :
l’expression à développer, x=a (par défaut x=0),
l’ordre du développement (par défaut 5), la direction -1, 1
(pour un développement unidirectionel) ou 0 (pour un
développement bidirectionel) (par défaut 0).
Si on veut un développement limité sans mettre le reste il faut utiliser
comme dernier paramètre l’option polynom.
Remarque on peut aussi mettre x,a,n au lieu de
x=a,n
series renvoie un polynôme en x-a, plus un reste que Xcas
écrit :
(x-a)^
n*order_size(x-a)
cela signifie que l’on a un développement limité à l’ordre n−1
(ou à l’ordre p<n).
En effet order_size désigne une fonction telle que,
quelque soit r positif :
x^
r*order_size(x) tend vers zéro quand x tend vers zéro.
Par exemple, les fonctions constantes, la fonction log (ou ln), sont
des fonctions order_size.
Attention!!!
L’ordre que l’algorithme utilise pour les développements limités peut
être plus petit que celui demandé : l’ordre peut diminuer si il y a des
compensations (voir les exemples qui suivent)
^
2/6+x^
4/120+x^
6*order_size(x)^
2/6+x^
4/120 ^
3+sin(x)^
3/(x-sin(x)))^
2+x^
3+711*x^
4/1400+x^
6*order_size(x)^
3+sin(x)^
3/(x-sin(x)),x=0,7)^
2+x^
3+711/1400*x^
4+x^
5*order_size(x)^
2,x=pi/6, 4)^
2+ 32*sqrt(3)/3/4*(x-pi/6)^
3+(-16*3+16)/3/4*(x-pi/6)^
4+ (x-pi/6)^
5*order_size(x-pi/6)^
3-1/5*(1/x)^
5+^
6*order_size(1/x)^
3+1/5*(-1/x)^
5+^
6*order_size(-1/x)Exemple 2 :
Donner un développement de (2x−1)e1/x−1 à l’ordre 2 au voisinage de
x=+∞ en prenant comme infiniment petit h=1/x.
On tape :
On obtient seulement l’ordre 1 :
^
2*order_size(1/x)On tape pour avoir le développement à l’ordre 2 en 1/x:
On obtient :
^
2+(1/x)^
3*order_size(1/x)
Exemple 3 :
Donner un développement de (2x−1)e1/x−1) à l’ordre 2 au voisinage de
x=-∞ en prenant comme infiniment petit h=−1/x.
On tape :
On obtient :
^
2+^
3*order_size(-1/x)^
(1/x)/x^
3,x=0,2,1)^
3+(-(exp(1)))/2/x^
2+1/x*order_size(x)