Cas le plus simple
La fonction
simplex_reduce effectue la réduction par l’algorithme du simplexe pour
trouver :
| max(c.x) avec A.x ≤ b, x ≥ 0, b≥ 0 |
où c,x sont des vecteurs de ℝn, b≥ 0 est un vecteur de ℝp et A est une matrice de p lignes et de n colonnes.
simplex_reduce a comme argument A,b,c et
renvoie max(c.x), la solution augmentée de x
et la matrice réduite.
Exemple
Chercher
| max(X+2Y) lorsque | ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ |
|
On tape :
On obtient :
Ce qui veut dire que le maximum de X+2Y sous ces conditions
est 7, il est obtenu pour X=1,Y=3
car [1,3,0,0] est la solution augmentée et la matrice
réduite est :
[[0,1,1/5,3/5,3],[1,0,(-1)/5,2/5,1], [0,0,1/5,8/5,7]].
Un cas plus compliqué qui se ramène au cas simple
simplex_reduce oblige à réécrire les contraintes impliquant une
seule variable pour qu’elles soient sous la forme xk ≥ 0, puis à
éliminer les variables sans contraintes puis à ajouter des variables afin
d’avoir comme contraintes : toutes les composantes des
éléments du simplexe sont positives.
Par exemple, si on part du problème :
| min(2x+y−z+4) lorsque | ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ |
|
on pose x=1−X, y=Y+2, z=5−X+3Y le problème devient chercher le minimum de (−2X+Y−(5−X+3Y)+8) lorsque
| ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ |
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donc chercher le minimum de :
| (−X−2Y+3) lorsque | ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ |
|
ce qui revient à chercher le maximum de −(−X−2Y+3)=X+2Y−3 sous les mêmes conditions, on est donc ramené au problème précédent (le maximum est donc de 7-3=4).
Cas général
Tous les cas ne se ramènent pas directement au cas simple ci-dessus.
On verra plus loin comment les traiter, cela nécessitera d’utiliser
une autre forme d’appel de simplex_reduce, que l’on peut
d’ailleurs aussi utiliser dans le cas simple de la manière
suivante :
si A a p lignes et n colonnes et si on définit :
simplex_reduce accepte aussi en argument D.
Pour l’exemple précédent, on tape :
On a C=[[-3,2,1,0,3],[1,1,0,1,4]]
et D=[[-3,2,1,0,3],[1,1,0,1,4],[-1,-2,0,0,0]]
On tape :
On obtient le même résultat que précédemment.