6.50.5 Matrice de passage et matrice de Jordan : jordan
jordan a comme argument une matrice A d’ordre n.
jordan renvoie
-
en mode Xcas (il faut être en mode complexe c’est à dire avoir
coché Complexe dans la configuration
de CAS lorsqu’il y a des valeurs propres complexes), Mupad ou TI
une séquencee composée de
deux matrices : une matrice de changement de base P de colonnes les vecteurs
propres et caractéristiques de A, suivie de la matrice de
Jordan J associée à A dans la nouvelle base,
- en mode Maple
la matrice de Jordan J associée à A dans la nouvelle base. On peut
cependant obtenir la matrice de changement de base P, dans une variable
passée en second argument, par exemple
jordan([[1,0,0],[0,1,1],[1,1,-1]],’P’)
On a :
J=P−1AP.
Remarques
Pour rat_jordan :
-
La syntaxe Maple est aussi valable dans les autres modes, par
exemple, en mode Xcas, on tape :
rat_jordan([[4,1,1],[1,4,1],[1,1,4]],’P’)
On obtient :
[[1,-1,1/2],[1,0,-1],[1,1,1/2]]
puis P renvoie :
[[6,0,0],[0,3,0],[0,0,3]]
,
On tape :
rat_jordan([[-1,1,0],[0,-1,1],[1,0,-1]])
On obtient :
[[1,1,-1],[1,0,-1],[1,-1,2]],[[0,0,0],[0,0,-3],[0,1,-3]]
On tape (en mode complexe) :
jordan([[-1,1,0],[0,-1,1],[1,0,-1]])
On obtient :
[[1,(-i)*sqrt(3)-1,(i)*sqrt(3)-1],[1,2,2],
[1,(i)*sqrt(3)-1, (-i)*sqrt(3)-1]], [[0,0,0],
[0,((i)*sqrt(3)-3)/2,0],[0,0,((-i)*sqrt(3)-3)/2]]
- Lorsque A est symétrique et a des valeurs propres d’ordre multiple,
Xcas renvoie des vecteurs propres orthogonaux (pas forcément normés
i.e. tran(P)*P) et une matrice diagonale ayant pour diagonale le carré
de la norme des vecteurs propres.
par exemple :
rat_jordan([[4,1,1],[1,4,1],[1,1,4]])
renvoie :
[[1,-1,1/2],[1,0,-1],[1,1,1/2]],[[6,0,0],[0,3,0],[0,0,3]]
Pour avoir la matrice de Jordan de :
on tape en mode Xcas, Mupad et TI :
jordan([[1,0,0],[0,1,1],[1,1,-1]])
On obtient :
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣ |
| |
| ⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦ | ,
| ⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣ |
| |
| ⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦ |
On tape en mode Maple :
jordan([[1,0,0],[0,1,1],[1,1,-1]])
On obtient :
[[1,0,0],[0,-(sqrt(2)),0],[0,0,sqrt(2)]]
On tape en mode Maple :
jordan([[1,0,0],[0,1,1],[1,1,-1]],’P’)
On obtient :
[[1,0,0],[0,-(sqrt(2)),0],[0,0,sqrt(2)]]
puis on tape :
P)
On obtient :
[[-1,0,0],[1,1,1],[0,-sqrt(2)-1,sqrt(2)-1]]
On tape en mode Xcas, Mupad et TI:
jordan([[4,1,-2],[1,2,-1],[2,1,0]])
On obtient :
[[[1,2,1],[0,1,0],[1,2,0]],[[2,1,0],[0,2,1],[0,0,2]]]
En mode complexe et en mode Xcas, Mupad et TI, on tape :
jordan([[2,0,0],[0,2,-1],[2,1,2]])
On obtient :
[[1,0,0],[-2,-1,-1],[0,i,-i]],[[2,0,0],[0,2+i,0],[0,0,2-i]]