6.50.12  Réduction de Hessenberg d’une matrice : hessenberg

hessenberg a comme premier argument une matrice A et comme deuxième argument 0, -1 ou -2 ou n>1 et n premier (par défaut 0).
hessenberg renvoie la matrice P de passage et la matrice B semblable à A dont les coefficients sous-sous-diagonaux sont nuls. On dit que B est une matrice de Hessenberg et on a B=P⁻¹AP ou B∼ P⁻¹AP selon le
deuxième argument.

• Avec un seul argument ou comme deuxième argument 0, les calculs sont exacts.
  On tape :
  hessenberg([[3,2,2,2,2],[2,1,2,-1,-1],[2,2,1,-1,1], [2,-1,-1,3,1],[2,-1,1,1,2]])
  ou
  hessenberg([[3,2,2,2,2],[2,1,2,-1,-1],[2,2,1,-1,1], [2,-1,-1,3,1],[2,-1,1,1,2]],0)
  On obtient :

  ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

  ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

  1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1/2 1/4 1 0 1 1 1 0

  ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

  ,

  ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

  3 8 5 5/2 2 2 1 1/2 (−5)/4 −1 0 2 1 2 0 0 0 2 3/2 2 0 0 0 13/8 7/2

  ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

  ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

  On a en effet si :
  A:=[[3,2,2,2,2],[2,1,2,-1,-1],[2,2,1,-1,1],
  [2,-1,-1,3,1],[2,-1,1,1,2]]
  P,B:= hessenberg(A,0)
  pcar(A)=pcar(B)=[1,-10,13,71,-50,-113]
  inv(P)*A*P est égal à B
• Avec comme deuxième argument -1, les calculs sont approchés et la matrice B est triangulaire.
  On tape :
  hessenberg([[3,2,2,2,2],[2,1,2,-1,-1],[2,2,1,-1,1], [2,-1,-1,3,1],[2,-1,1,1,2]],-1)
  On obtient (on donne le résultat avec 2 digits) :

  ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

  ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

  0.73 −0.057 −0.42 −0.17 −0.51 0.25 −0.53 0.72 −0.38 −0.048 0.35 −0.44 −0.3 0.19 0.74 0.34 0.68 0.17 −0.46 0.43 0.41 0.25 0.44 0.76 −0.063

  ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

  ,

  ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

  6.7 8.7e−15 −2e−13 2.7e−14 −1.4e−13 0.0 4.6 0 0 0 0.0 0.0 −1.9 0 0 0.0 0.0 0.0 1.7 0 0.0 0.0 0.0 −0.0 −1.2

  ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

  ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

  On a en effet si :
  A:=[[3,2,2,2,2],[2,1,2,-1,-1],[2,2,1,-1,1],
  [2,-1,-1,3,1],[2,-1,1,1,2]]
  P,B:= hessenberg(A,-1)
  inv(P)*A*P est égal à B en calcul numérique.
  Remarque
  hessenberg(A,-1) est identique à SCHUR(A) qui est une commande Xcas compatible avec les calculatrices HP.
• Avec comme deuxième argument -2, les calculs sont approchés et la matrice P est orthogonale et la matrice B a ses coefficients sous-sous-diagonaux nuls.
  On tape :
  hessenberg([[3,2,2,2,2],[2,1,2,-1,-1],[2,2,1,-1,1], [2,-1,-1,3,1],[2,-1,1,1,2]],-2)
  On obtient (on donne le résultat avec 2 digits) :

  ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

  ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

  1 0 0 0 0 0 0.5 −0.75 0 −0.43 0 0.5 0.45 −0.71 −0.21 0 0.5 −0.15 0 0.85 0 0.5 0.45 0.71 −0.21

  ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

  ,

  ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

  3.0 4 0.0 1.6e−14 5.4e−14 4 2.2 0.83 0.0 0.0 0 0.83 0.75 1.7 −1.4e−14 0 0 1.7 0.5 2 0 0 0 2 3.5

  ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

  ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

  On a en effet si :
  A:=[[3,2,2,2,2],[2,1,2,-1,-1],[2,2,1,-1,1],
  [2,-1,-1,3,1],[2,-1,1,1,2]]
  P,B:= hessenberg(A,-2)
  inv(P)*A*P est égal à B et inv(P) est égal à tr(P) en calcul numérique.
• Avec comme deuxième argument n>1 et n premier, les calculs sont modulo n et la matrice B est triangulaire.
  On tape :
  hessenberg([[3,2,2,2,2],[2,1,2,-1,-1],[2,2,1,-1,1], [2,-1,-1,3,1],[2,-1,1,1,2]],13)
  On obtient

  ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

  ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

  1 0 0 0 0  0 1 0 0 0  0 −12 1 0 0  0 66 −6 1 0  0 131 −12 4 1

  ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

  ,

  ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

  3 −5 −8 10 2  2 1 7 −5 −1  0 2 1 −5 −11  0 0 7 −5 −12  0 0 0 0 10

  ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

  ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦