Procédé de Gramschmidt : gramschmidt

gramschmidt a un ou deux paramètres :

une matrice vue comme une liste de vecteurs lignes, le produit scalaire ètant le produit scalaire canonique, ou
un vecteur contenant la base d’un espace vectoriel et une fonction qui définit un produit scalaire.

gramschmidt donne une base orthonormale par rapport à ce produit scalaire.
On tape :

normal(gramschmidt([[1,1,1],[0,0,1],[0,1,0]]))

Ou on tape :

normal(gramschmidt([[1,1,1],[0,0,1],[0,1,0]],dot))

On obtient :

[[(sqrt(3))/3,(sqrt(3))/3,(sqrt(3))/3], [(-(sqrt(6)))/6,(-(sqrt(6)))/6,(sqrt(6))/3], [(-(sqrt(2)))/2,(sqrt(2))/2,0]]

Exemple
Pour les polynômes de degré <n, on considère le produit scalaire défini par :

P.Q=

∫

−1

P(x).Q(x)dx

On tape :

gramschmidt([1,1+x],(p,q)->integrate(p*q,x,-1,1))

Ou on écrit la fonction p_scal, on tape :
p_scal(p,q):=integrate(p*q,x,-1,1)
et on tape :

gramschmidt([1,1+x],p_scal)

On obtient :

[1/(sqrt(2)),(1+x-1)/sqrt(2/3)]