8.5.6  Des exemples

Voici quelques exercices :

1. Exercice
   Pour tester l’efficacité d’un vaccin antigrippal on soumet 300 personnes à une expérience :
   - sur 100 personnes non vaccinées, 32 sont atteintes par la grippe,
   - sur 200 personnes vaccinées, 50 sont atteintes par la grippe,
   Ce résultat permet-il d’apprécier l’efficacité du vaccin ?
   On calcule les valeurs f1 et f2 qui sont les proportions des grippés des deux échantillons on tape :
   f1:=32/100
   f2:=50/200
   On tape :
   f1-f2
   On obtient :
   7/100
   Donc |f₁−f₂|=0.07
   On calcule la valeur p proportion des grippés lorsqu’on reunit les deux échantillons on tape :
   p:=82/300
   On obtient :
   41/150
   Donc p≃ 0.273333333333
   On calcule s₁₂, on tape :
   s12:=sqrt(p*(1-p)*(1/100+1/200))
   On obtient :
   sqrt(4469/1500000)
   Donc s₁₂ ≃ 0.0545832697201
   On tape :
   normalt([32,100],[50,200],0.0545832697201,’!=’,0.05)
   On obtient :
   0
   et en vert le resumé du test :
   Moyenne estimee en utilisant le(s) echantillon(s) 125
   *** TEST RESULT 0 ***
   Summary Z-Test null hypothesis mu1=mu2, alt. hyp. mu1!=mu2. Test returns 0 if probability to observe data is less than 0.05 (null hyp. mu1=mu2 rejected with less than alpha probability error) Test returns 1 otherwise (can not reject null hypothesis) Data mean mu1=32, population mean mu2=125 alpha level 0.05, multiplier*stddev/sqrt(sample size)= 1.95996*0.0545833/10 1.95996*0.0545833/10 renvoie 0.0106981084668
   On tape :
   a:=normal_icdf(0,sqrt(4469/1500000),0.975)
   On obtient :
   0.10698124281
   Puisque |f1-f2|=0.07<a=0.10698124281, on en déduit que les deux échantillons ne sont pas significativement différents au seuil de 5% : on peut donc dire que le vaccin n’est pas efficace mais ce n’est pas une certitude...
   La statistique D²=∑_j=1^k(n_j−e_j)²/e_j est une bonne mesure de l’écart entre les effectifs observés et les effectifs théoriques : plus D² est proche de zéro, plus la distribution de l’échantillon est conforme à la distribution théorique.
   On calcule la valeur d2 de D² on tape :
   d2:=300*(150*32-68*50)^2/(100*200*82*218)
   On obtient :
   7350/4469
   donc d² ≃ 1.645
   On cherche la valeur h qui vérifie :
   Proba(χ₁²>h)=0.05 ou encore Proba(χ₁² ≤ h)=0.95
   pour cela on tape :
   chisquare_icdf(1,0.95)
   On obtient :
   3.84145882069
   donc h ≃ 3.84
   Puisque d2≃ 1.645<3.84 on en déduit que les deux échantillons ne sont pas significativement différents au seuil de 5% : on peut donc mettre en doute l’efficacité du vaccin.
   On tape :
   ?
   On obtient :
   ?
2. Exercice
   Sur un registre d’état civil, on a relevé 552 naissances dont 289 garçons.
   a/ Estimer la fréquence p de naissance d’un garçon.
   b/ Donner un intervalle de confiance pour cette estimation.
   On tape :
   ?
   On obtient :
   ?
3. Exercice
   Dans un hôpital sur un échantillon de 458 malades admis pendant un trimestre il y a eu 141 décès. Estimer le pourcentage de décès par un intervalle de confiance au seuil de 0.01.
   On tape :
   ?
   On obtient :
   ?
4. Exercice : comparaison de deux moyennes
   Pour une même épreuve, voici les notes obtenues dans une classe de terminale du lycée A.
   6,10,14,17,9,6,4,12,9,10,10,11,12,18,10,9,11,8,7,10.
   et les notes obtenues dans une classe de terminale du lycée B.
   2,10,14,13,9,6,1,12,9,10,10,10,12,15,19,9,11,8,9,10
   1/ Analyser les résultats de chaque groupe.
   2/ Peut-on considérer que les 2 groupes sont issus d’une même population ?
5. Exercice : comparaison de deux moyennes
   Deux entreprises A et B livrent des pièces dans des paquets de 100 pièces. On note X₁ (resp X₂) la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses par paquet provenant de A (resp B).
   On note X₁ (resp X₂) la variable aléatoire égale au nombre moyen de pièces défectueuses par paquet pour des échantillons aléatoires de 49 paquets (resp 64 paquets) provenant de A (resp B).
   I) Sur un échantillon de 49 paquets provenant de A on compte le nombre de pièces défectueuses dans chaque paquet et on trouve :
   7, 5, 5, 4, 4, 4, 9, 7, 9, 2, 7, 8, 7, 8, 4, 4, 9, 10,
   5, 10, 6, 4, 5, 6, 1, 2, 5, 7, 8, 0, 6, 0, 1, 5, 2, 0,
   5, 2, 3, 3, 4, 1, 3, 10, 1, 0, 10, 2, 7
   1/ Calculer la moyenne m₁ et l’écart-type s₁ de cet échantillon.
   2/ Donner une estimation de la moyenne µ₁ et de l’écart-type σ₁ de X₁.
   3/ Donner une estimation de la moyenne et de l’écart-type de X₁.
   On tape :
   ?
   On obtient :
   ?
   On tape :
   ?
   On obtient :
   
   On tape :
   ?
   On obtient :
   ?
6. Exercice
   On a administré un somnifère A à 50 personnes choisies au hasard et on a observé une moyenne de sommeil de 8h22 avec un écart-type de 0h24.
   On a administré un somnifère B à 100 personnes choisies au hasard et on a observé une moyenne de sommeil de 7h15 avec un écart-type de 0h30.
   Ces deux somnifères ont-ils une efficacité signicativement différente ? de combien ?
   
7. Exercice : Échantillons appariés
   On a fait faire une double correction de 30 copies par deux examinateurs A et B afin de comparer leur notation. Les copies sont numerotées de 0 à 29.
   On a obtenu pour A :
   13,15,12,15,8,7,11,10,9,13,3,18,17,5,9,10,
   11,14,12,10,9,8,13,6,8,16,14,11,12,10
   On a obtenu pour B:
   12,13,12,15,7,5,12,10,8,13,4,17,16,4,9,11,10,
   13,13,9,10,7,14,8,7,15,13,10,13,10
   On tape :
   ?
   On obtient :
   ?
8. Exercice : Jet d’un dé et test du χ²
   On jette un dé 90 fois et on a obtenu :
   1 a été obtenu 11 fois,
   2 a été obtenu 16 fois,
   3 a été obtenu 17 fois,
   4 a été obtenu 22 fois,
   5 a été obtenu 14 fois,
   6 a été obtenu 10 fois.
   Peut-on admettre au vu de cette expérience que le dé est régulier ?
   On tape :
   ?
   On obtient :
   ?
9. Exercice : Jet d’un dé et test du χ²
   On jette un dé 180 fois et on a obtenu :
   1 a été obtenu 22 fois,
   2 a été obtenu 32 fois,
   3 a été obtenu 34 fois,
   4 a été obtenu 44 fois,
   5 a été obtenu 28 fois,
   6 a été obtenu 20 fois.
   Peut-on admettre au vu de cette expérience que le dé est régulier ?
   On tape :
   ?
   On obtient :
   ?