6.56.8  Résolution d’une récurrence linéaire : reverse_rsolve

reverse_rsolve a comme paramètre un vecteur v=[v₀...v_2n−1] de longueur paire égale à 2n.
reverse_rsolve permet de résoudre une récurrence linéaire de degré inférieur à n

où les x_j sont les n+1 inconnues.
reverse_rsolve renvoie la liste x=[x_n,...x₁,x₀] des coefficients x_j (si x_n≠ 0 alors x_n=1).

En d’autres termes, reverse_rsolve résout le système d’équations linéaires de n équations à n+1 inconnues :

La matrice A du système à résoudre a n lignes et n+1 colonnes :

reverse_rsolve renvoie la liste x=[x_n,...x₁,x₀] des coefficients x_j (si x_n≠ 0 alors x_n=1) et x est la solution dy système A*revlist(x).

Exemples

• Trouver une suite vérifiant la récurrence linéaire de degré au plus 2 et dont les premiers termes sont 1, -1, 3, 3.
  On tape :
  reverse_rsolve([1,-1,3,3])
  On obtient :
  [1,-3,-6]
  Sans reverse_rsolve, on aurait du écrire la matrice du système à résoudre :
  [[1,−1,3],[−1,3,3]]
  puis utiliser la commande rref :
  rref([[1,-1,3],[-1,3,3]])
  de réponse [[1,0,6],[0,1,3]]
  donc puisque x₂=1, on a x₀=−6 et x₁=−3
  et on a bien :
  x₀−x₁+3x₂=0 et −x₀+3x₁+3x₂=0
• Trouver une suite vérifiant la récurrence linéaire de degré au plus 3 et dont les premiers termes sont 1, -1, 3, 3,-1, 1.
  On tape :
  reverse_rsolve([1,-1,3,3,-1,1])
  On obtient :
  [1,(-1)/2,1/2,-1]
  La matrice du systeme à résoudre est donc :
  [[1,-1,3,3],[-1,3,3,-1],[3,3,-1,1]] On a si on utilise rref :
  rref([[1,-1,3,3],[-1,3,3,-1],[3,3,-1,1]])
  de réponse [1,0,0,1],[0,1,0,1/-2],[0,0,1,1/2]] donc puisque x₃=1, on a x₀=−1, x₁=1/2 et x₂=−1/2